اثبات حدس «گره» توسط دیپ‌مایند
برنامه هوش مصنوعی دیپ‌مایند (DeepMind) یک گام به اثبات یک حدس ریاضی که دهه‌ها ریاضیدانان را به فکر واداشته، نزدیک‌تر شده است. در ادامه، این برنامه از حدس جدیدی پرده بر می‌دارد که شاید باعث شود ریاضیدانان از گره‌ها درک بهتری داشته باشند.
کد خبر: ۱۲۶۸۷۹۹
تاریخ: ۱۵ دی ۱۴۰۰ - ۱۸:۱۳
به گزارش خبرگزاری دانا و به نقل
از Live Science، پژوهشگران ماه گذشته در نشریه علمی نیچر گزارش دادند که
این دو حدس در زمینه ریاضی محض، نخستین پیشرفت‌های مهم هوش مصنوعی در حوزه
ریاضیات محض بشمار می‌روند؛ یعنی ریاضیاتی که (ظاهراً) با هیچ کاربردی در
خارج از ریاضیات پیوند ندارد. باید گفت که مقصود از حدس، ایده‌ای ریاضی است
که گمان می‌رود درست باشد؛ اما هنوز در همه شرایط ثابت نشده است.
قبلاً از الگوریتم‌های یادگیری ماشین برای تولید چنین ایده‌های نظری در ریاضیات استفاده می‌شد، اما تاکنون این الگوریتم‌ها برای حل مسائلی بکار گرفته شده‌اند که در مقایسه با آنچه دیپ‌مایند انجام داده، کوچک‌ترند.
الکس دیویس (متخصص یادگیری ماشین در دیپ‌مایند و یکی از نویسندگان این مقاله) می‌گوید: «ما قبلاً شاهد استفاده از یادگیری ماشین برای دستیابی به اکتشافات جدید مهم در ریاضیات محض نبودیم».
بخش بزرگی از ریاضیات محض، کشف الگو در اعداد و سپس انجام کارهای عددی پرزحمت است برای اثبات اینکه آیا پیش‌بینی‌های شهودی، حاکی از روابط واقعی هستند یا نه. این امر در هنگام کار با معادلات پیچیده در ابعاد مختلف، می‌تواند بسیار پیچیده شود. با این حال، آقای دیویس می‌گوید: «یادگیری ماشین در تشخیص الگوها بسیار عالی عمل می‌کند».
دانشمندان بر دو زمینه تمرکز کردند: نظریه گره که مطالعه ریاضی گره‌ها است و دیگری نظریه نمایش، که حوزه‌ای است که بر ساختارهای جبری انتزاعی، مانند حلقه‌ها و شبکه‌ها تمرکز دارد و این ساختارهای انتزاعی را به معادلات جبری خطی، یا معادلات آشنا با زبان x و y تبدیل می‌کند که دانش‌آموزان دبیرستانی هم می‌توانند آنها را درک کنند.
ریاضیدانان برای درک گره‌ها، بر چیزی به نام متغیر تکیه می‌کنند. متغیرها کمیت‌های جبری، هندسی یا عددی هستند. در این مورد، دانشمندان به متغیرهایی توجه داشتند که در گره‌های هم‌ارز، یکسان بودند. هم‌ارزی را می‌توان به روش‌های مختلفی تعریف کرد. ریاضیدانان گره‌هایی را هم‌ارز در نظر می‌گیرند که بتوان بدون بریدن گره، یکی را به دیگری تبدیل کرد. ناورداهای هندسی اساساً شکل کلی یک گره را می‌سنجند؛ در حالی که متغیرهای جبری چگونگی پیچ خوردن گره‌ها در داخل و اطراف یکدیگر را توصیف می‌کنند.
قبلاً از الگوریتم‌های یادگیری ماشین برای تولید چنین ایده‌های نظری در ریاضیات استفاده می‌شد، اما تاکنون این الگوریتم‌ها برای حل مسائلی بکار گرفته شده‌اند که در مقایسه با آنچه دیپ‌مایند انجام داده، کوچک‌ترند.
الکس دیویس (متخصص یادگیری ماشین در دیپ‌مایند و یکی از نویسندگان این مقاله) می‌گوید: «ما قبلاً شاهد استفاده از یادگیری ماشین برای دستیابی به اکتشافات جدید مهم در ریاضیات محض نبودیم».
بخش بزرگی از ریاضیات محض، کشف الگو در اعداد و سپس انجام کارهای عددی پرزحمت است برای اثبات اینکه آیا پیش‌بینی‌های شهودی، حاکی از روابط واقعی هستند یا نه. این امر در هنگام کار با معادلات پیچیده در ابعاد مختلف، می‌تواند بسیار پیچیده شود. با این حال، آقای دیویس می‌گوید: «یادگیری ماشین در تشخیص الگوها بسیار عالی عمل می‌کند».
دانشمندان بر دو زمینه تمرکز کردند: نظریه گره که مطالعه ریاضی گره‌ها است و دیگری نظریه نمایش، که حوزه‌ای است که بر ساختارهای جبری انتزاعی، مانند حلقه‌ها و شبکه‌ها تمرکز دارد و این ساختارهای انتزاعی را به معادلات جبری خطی، یا معادلات آشنا با زبان x و y تبدیل می‌کند که دانش‌آموزان دبیرستانی هم می‌توانند آنها را درک کنند.
ریاضیدانان برای درک گره‌ها، بر چیزی به نام متغیر تکیه می‌کنند. متغیرها کمیت‌های جبری، هندسی یا عددی هستند. در این مورد، دانشمندان به متغیرهایی توجه داشتند که در گره‌های هم‌ارز، یکسان بودند. هم‌ارزی را می‌توان به روش‌های مختلفی تعریف کرد. ریاضیدانان گره‌هایی را هم‌ارز در نظر می‌گیرند که بتوان بدون بریدن گره، یکی را به دیگری تبدیل کرد. ناورداهای هندسی اساساً شکل کلی یک گره را می‌سنجند؛ در حالی که متغیرهای جبری چگونگی پیچ خوردن گره‌ها در داخل و اطراف یکدیگر را توصیف می‌کنند.
آقای دیویس با اشاره به متغیرهای هندسی و جبری می‌گوید: «تا به حال هیچ ارتباط ثابت‌شده‌ای بین این دو مقوله وجود نداشته است». اما ریاضیدانان بر این باور بودند که ممکن است نوعی رابطه بین آنها وجود داشته باشد؛ بنابراین تصمیم گرفتند برای یافتن آن از دیپ‌مایند استفاده کنند.
آنها با کمک این برنامه هوش مصنوعی توانستند یک معیار هندسی جدید شناسایی کنند و آن را «شیب طبیعی» یک گره نامیدند. گفتنی است این معیار از نظر ریاضی، با یک متغیر جبری شناخته شده به نام «امضاء» مرتبط بود که سطوح خاصی بر روی گره‌ها توصیف می‌کند.
دانشمندان در نشریه نیچر نوشتند که این حدس جدید (مبنی بر اینکه این دو ناوردا به هم مرتبط هستند)، زمینه‌ساز تولید نظریات جدید پیرامون گره‌ها خواهد شد.
در مورد دوم، دیپ‌مایند حدس‌هایی را که ریاضیدانان در اواخر دهه ۱۹۷۰ زده بودند، به‌عنوان ورودی گرفت و نشان داد که این حدس‌ها درست هستند.
گفتنی است ریاضیدانان به مدت ۴۰ سال حدس می‌زدند که می‌توان به نوع خاصی از نمودارهای بسیار پیچیده و چندبعدی نگاه کرد و به نوع خاصی از معادلات برای نشان دادن آنها پی برد. اما آنها نتوانستند بطور کامل نشان دهند که چطور می‌توان این کار را انجام داد. اکنون دیپ‌مایند با پیوند دادن ویژگی‌های خاص نمودارها به پیش‌بینی این معادلات که چندجمله‌ای کژدان-لوشتیگ (KL) نامیده می‌شوند، نزدیک‌تر شده است.
آقای دیویس می‌گوید: «کاری که ما توانستیم انجام دهیم این بود که چند مدل یادگیری ماشین را آموزش دهیم که قادر به پیش‌بینی دقیق چندجمله‌ای از روی نمودار بودند». این تیم همچنین تحلیل کردند که دیپ‌مایند از چه ویژگی‌هایی در نمودار برای انجام این پیش‌بینی‌ها استفاده می‌کرد؛ تا جایی که توانستند یک گام به قانون کلی نگاشتن این دو به یکدیگر نزدیک‌تر شوند. این بدان معنی است که دیپ‌مایند پیشرفت قابل‌توجهی در اثبات حدسی داشته که با عنوان «حدس ناوردایی ترکیبیاتی» شناخته می‌شود.
شایان ذکر است با اینکه هیچ کاربرد عملی فوری برای این حدس‌های ریاضی محض وجود ندارد، اما ریاضیدانان قصد دارند بر اساس اکتشافات جدید، برای کشف روابط بیشتر در این زمینه‌ها تلاش کنند. این تیم تحقیقاتی همچنین امیدوار است که موفقیت‌های آنها باعث تشویق دیگر ریاضیدانان شود تا به هوش مصنوعی به عنوان ابزاری جدید روی آورند.
آقای دیویس در پایان می‌گوید: «نخستین کاری که می‌خواهیم انجام دهیم این است که کمی بیشتر به جامعه ریاضی ورود کنیم و امیدواریم بتوانیم ریاضیدانان را به استفاده از این فناوری تشویق کنیم».